（2009•大连）如图，抛物线F：y=ax2+bx+c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x2+b′x+c′，抛物线F′与x轴

Question

（2009•大连）如图，抛物线F：y=ax²+bx+c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a=1，b=-2，c=3时，求点C的坐标（直接写出答案）；
（2）若a、b、c满足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）C（3，0）；

（2）①抛物线y=ax²+bx+c，
令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵b²=2ac，
∴(4ac−b2)/(4a)＝(4ac−2ac)/(4a)＝(2ac)/(4a)=(c)/(2)，
∴点P的坐标为（−(b)/(2a)，(c)/(2)）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（−(b)/(2a)，0）．
根据题意，得a=a′，c=c′，
∴抛物线F′的解析式为y=ax²+b'x+c．
又∵抛物线F′经过点D（−(b)/(2a)，0），
∴0=a×(b2)/(4a2)+b′(−(b)/(2a))+c．
∴0=b²-2bb'+4ac．
又∵b²=2ac，
∴0=3b²-2bb'．
∴b：b′=2：3．
②由①得，抛物线F′为y=ax²+(3)/(2)bx+c．
令y=0，则ax²+(3)/(2)bx+c=0．
∴x₁=−(b)/(2a)，x₂=−(b)/(a)．
∵点D的横坐标为−(b)/(2a)
∴点C的坐标为（−(b)/(a)，0）．
设直线OP的解析式为y=kx．
∵点P的坐标为（−(b)/(2a)，(c)/(2)），
∴(c)/(2)=−(b)/(2a)k，
∴k=−(ac)/(b)＝−(2ac)/(2b)＝−(b2)/(2b)＝−(b)/(2)，
∴y=-(b)/(2)x．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴ax²+bx+c=-(b)/(2)x．
∴x₁=−(b)/(2a)，x₂=−(b)/(a)．
∵点P的横坐标为−(b)/(2a)，
∴点B的横坐标为−(b)/(a)．
把x=−(b)/(a)代入y=-(b)/(2)x，
得y=-(b)/(2)（−(b)/(a)）=(b2)/(2a)＝−(2ac)/(2a)＝c．
∴点B的坐标为（−(b)/(a)，c）．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．