如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A（2,－3）,B（4,－1）．若C（a,0）,D（a＋3,0）是x轴上的两个动点,则当a＝____时,四边形ABDC的周长最短；

Question

如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A（2,－3）,B（4,－1）．
若C（a,0）,D（a＋3,0）是x轴上的两个动点,则当a＝____时,四边形ABDC的周长最短；

Answer 1

作点A关于x轴的对称点A′,则A′的坐标为（2,3）,把A′向右平移3个单位得到点B'（5,3）,连接BB′,与x轴交于点D,如图,
∴CA′=CA,
又∵C（a,b）,D（a+3,b）,
∴CD=3,
∴A′B′∥CD,
∴四边形0′B′DC为平行四边形,
∴CA′=DB′,
∴C1=DB′,
∴AC+BD=BB′,此时AC+BD最小,
而CD与AB的长一定,
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b,
把B（4,-1）、B'（5,3）分别代入得,
ck+b=-1,5k+b=3,
解得k=4,b=-17,
∴直线BB′的解析式为y=4x-17,
令y=0,则4x-17=0,
解得x=17/4
∴D点坐标为（17/4,0）,
∴a+3=17/4
∴a=5/4