如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,角BAD=60度,N是PB中点,过ADN三点的平面交PC于M(1)求证M是PC中点(2)求证：平面PBC垂直平面ADMN

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,角BAD=60度,N是PB中点,过ADN三点的平面交PC于M
(1)求证M是PC中点
(2)求证：平面PBC垂直平面ADMN

Answer 1

1)
因为 底面ABCD是边长为2的菱形
所以 AD//BC
因为 MN是平面ADMN与平面BCP的交线
所以 MN//AM//BC
因为 N是PB的中点,MN//BC
所以 MN是三角形BCP的中位线
所以 M是PC的中点
2）连接AN,DN,BD
因为 底面ABCD是边长为2的菱形,角BAD=60度
所以 三角形ABD是边长为2的正三角形
因为 侧面PAD是正三角形,AD=2
所以 三角形PAD是边长为2的正三角形
所以 AP=AB=PD=DB=2
因为 N是PB的中点,AP=AB,PD=DB
所以 AN垂直PB,DN垂直PB（等腰三角形的性质）
所以 PB垂直平面ADMN
因为 平面PBC过PB
所以 平面PBC垂直平面ADMN