p为三角形abc所在平面外一点,pa垂直pb,pb垂直pc,pc垂直pa,ph垂直平面abc于h,求证h是三角形abc的垂心；2.三角形abc为锐角三角形（图应该能想来吧）

Question

p为三角形abc所在平面外一点,pa垂直pb,pb垂直pc,pc垂直pa,ph垂直平面abc于h,
求证h是三角形abc的垂心；2.三角形abc为锐角三角形（图应该能想来吧）

Answer 1

（1）证明：
连接ch延长线交ab于点d,连接ah延长线交cb于点e
因为pc垂直于pa,pb垂直于pc
所以pc垂直于平面pab
所以有：pc垂直于ab
因为ph垂直于平面abc
所以ph垂直于ab
ab垂直于平面phc
所以ab垂直于ch
同理可证ah垂直于cb
所以h是三角形abc的垂心
（2）证明：设三角形abc各边长分别为a、b、c
pa=m,pb=n,pc=l
依题可知：
a^2+b^2-2ab*cosC=c^2;①
a^2=l^2+n^2; ②
b^2=m^2+l^2;③
c^2=m^2+n^2;④
②③④代入①得：
(l^2+n^2)+(m^2+n^2)-2ab*cosC=m^2+n^2
化简得：2*l^2-2ab*cosC=0
所以l^2=ab*cosC
因为l^2>0
所以ab*cosC>0
所以C<90°
同理可知A<90°,B<90°
即三角形abc是锐角三角形