如图,正方形ABCD中,点E在对角线AD上,点G在BC的延长线上,DF⊥DE,DF交∠DCG的平分线于F,EF交CD于H.（1）若AC=4,AE=1,求△DEF的面积.（2）若∠EFC=5∠ADE,求证：EH=DH+FH

Question

如图,正方形ABCD中,点E在对角线AD上,点G在BC的延长线上,DF⊥DE,DF交∠DCG的平分线于F,EF交CD于H.
（1）若AC=4,AE=1,求△DEF的面积.
（2）若∠EFC=5∠ADE,求证：EH=DH+FH

Answer 1

1、∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°
∵∠EDC+∠CDF=90°
∴∠ADE=∠CDF
∵CF平分∠DCG即∠DCF=45°
AC是正方形对角线,即∠DAE=45°
∴∠DCF=∠DAE=45°
∵AD=CD
∴△ADE≌△CDF(ASA)
∴S△ADE=S△CDF
CF=AE=1
CE=AC-AE=4-1=3
∴S四边形DECF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ACD
∵AD=CD=√2/2AC=√2/2×4=2√2
∴S△ACD=S四边形DECF=1/2AD²=1/2×(2√2)=4
∵∠ECF=∠ACD+∠DCF=45°+45°=90°
∴S△CEF=1/2CE×CF=1/2×3×1=3/2=1.5
∴S△DEF=S四边形DECF-S△CEF=4-1.5=2.5
2、取EF的中点M,连结DM、BM
∵正方形ABCD
∴AD＝CD,∠ADC＝90°
∵∠EDF＝90°
∴∠ADE＝∠CDF
∴△ADE≌△CDF
∴DE＝DF
∴DM＝EM＝FM
∴∠EDM＝45°
∵∠ADM＋∠AEM＝360°－∠A－∠DME＝180°
∠AEM＋∠BEF＝180°
∴∠BEF＝∠ADM＝∠EDM＋∠ADE
∴90°－∠BFE＝45°＋∠ADE
∴90°－∠BFE＝45°＋2∠BFE
得：∠BFE＝15°,∠ADE＝30°
∴∠AED＝60°＝∠EBD＋∠BDE
∴∠BDE＝15°,∠HDM＝30°
∴HD＝2HM
∴FH＝FM＋HM＝EM＋HM＝EH＋2HM＝EH＋HD