（2012•莆田模拟）如图，F是抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线E上任意一点．现给出下列四个结论：①以线段AF为直径的圆必与y轴相切；②当点A为坐标原点时，|AF|为最短；③若点B是

Question

（2012•莆田模拟）如图，F是抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线E上任意一点．现给出下列四个结论：
①以线段AF为直径的圆必与y轴相切；
②当点A为坐标原点时，|AF|为最短；
③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB过焦点F时，|AF|+|BF|取得最小值；
④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点A、B、C的横坐标亦成等差数列．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

①由已知抛物线y²=-2px（p＞0）的焦点F（-(p)/(2)，0），设A（x₁，y₁），则圆心坐标为（(2x1−p)/(4)，(y1)/(2)），∴圆心到y轴的距离为(p−2x1)/(4)，圆的半径为(|FA|)/(2)=(1)/(2)（(p)/(2)-x₁），∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．故①正确；
②设A（x，y），则|AF|=|x+(p)/(2)|，∴x=0时，即当点A为坐标原点时，|AF|为最短，②正确；
③设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，显然x₁+x₂=0，即A、B关于x轴对称时，|AF|+|BF|取得最小值，故③不正确；
④设点A、B、C的横坐标分别为a，b，c，则∵|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴2（b+p）=（a+p）+（c+p），∴2b=a+c，∴点A、B、C的横坐标亦成等差数列，故④正确．
综上知，正确结论的个数是3个
故选C．