已知曲线E上任意一点M(x,y)到定点F(√3,0）的距离和它到定直线n:x=（4√3）／3的距离比是常数√3/2（1）求曲线E的方程（2）过原点的直线交曲线于A,B两点,C点坐标为（1,1/2),若△ABC的面积为√5/5

Question

已知曲线E上任意一点M(x,y)到定点F(√3,0）的距离和它到定直线n:x=（4√3）／3的距离比是常数√3/2
（1）求曲线E的方程
（2）过原点的直线交曲线于A,B两点,C点坐标为（1,1/2),若△ABC的面积为√5/5,求直线AB的方程

Answer 1

（1）依题意：|MF|:|x-4√3／3|=√3/2
即：2√[(x-√3)^2+y^2]=√3|x-4√3/3|
∴4(x^2-2√3x+3+y^2)=3(x^2-8√3/3*x+16/3)
整理：x^2+4y^2=4
曲线E的方程x^2/4+y^2=1
（2）AB：y=kx代入x^2/4+y^2=1
得：x^2+4k^2x^2=4
x^2=4/(1+4k^2)
y^2=4k^2/(1+4k^2)
|AB|=2√(x^2+y^2)
=2√[4(k^2+1)/(4k^2+1)]
C到直线AB的距离
h=|1-k/2|/√(k^2+1)
S△ABC=1/2*|AB|*h
=√[4(k^2+1)/(4k^2+1√(k^2+1)
=(2-k)/√(4k^2+1)
(2-k)/√(4k^2+1) =√5/5
解得：K=1,K=19
AB方程为：y=x,或y=19x