已知向量a=（2sinx,2sinx）,b=（cosx,-sinx）函数fx=a*b+11如果fx=1/2,求sin4x的值2如果x属于（0,π/2）,求fx的取值范围

Question

已知向量a=（2sinx,2sinx）,b=（cosx,-sinx） 函数fx=a*b+1
1 如果fx=1/2,求sin4x 的值
2 如果x属于（0,π/2）,求fx的取值范围

Answer 1

解； 函数f(x)=向量a.向量b+1.
 j即   f(x)=2sinx*cosx-2sin^2x+1. 【cos2x=1-2sin^2x】
∴ f(x)=sin2x+cos2x.
若f(x)=1/2,即 sin2x+cos2x=1/2,等式两边平方,得：
    (sin2x+cos2x)^2=(1/2)^2.
    sin^2(2x)+2sin2xcos2x+cos^2(2x)=1/4. 【2sin2xcos2x=sin4x】
    1+sin4x=1/4.
∴  sin4x=-3/4.
 2.又,f(x)=sin2x+co2x=√2sin(2x+π/4). 
 ∵x∈[0,π/2],∴得：π/4≤2x+π/4≤π+π/4.
  ∵函数f(x)在区间[0,π/8]上递增,在区间[π/8,π/2]上递减,∴f(x)在x=π/8处取得最大值√2；
  又 f(0)＞f(π/2) (=√2sin(2*π/2+π/4)=√2sin(π+π/4)=-√2sinπ/4=-√2*√2/2=-1.).
  ∴f(x)在x=π/2处取得最小值-1.
  ∴函数f(x)在区间[0,π/2]上的取值范围是[-1,√2].