已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值．

Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ的内切圆面积的最大值．

Answer 1

（1）∵椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2，
∴a=2，c=1，
∴b＝√(a2−c2)=√(3)，
∴椭圆方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1-----------------------（4分）
（2）由（1）知F₁（-1，0），过点F₁（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F₂PQ的周长为4a=8，
∴S△F2PQ＝(1)/(2)•4a•r（r为三角形内切圆半径），
∴当△F₂PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．-----------------------（5分）
设直线l方程为：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x＝ky−1

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

⇒(4+3k2)y2−6ky−9＝0⇒

y1+y2＝(6k)/(3k2+4)

y1•y2＝−(9)/(3k2+4)

-----------------（7分）
∴S△F2PQ＝(1)/(2)•|F1F2|•|y1−y2|＝(12√(k2+1))/(3k2+4)-------------------（9分）
令√(k2+1)＝t，则t≥1，所以S△F2PQ＝(12)/(3t+(1)/(t))，而3t+(1)/(t)在[1，+∞）上单调递增，
∴S△F2PQ＝(12)/(3t+(1)/(t))≤3，当t=1时取等号，即当k=0时，△F₂PQ的面积最大值为3，
结合S△F2PQ＝(1)/(2)•4a•r＝3，得r的最大值为(3)/(4)，
∴S＝πr2＝(9)/(16)π-----------------（12分）