1.求过点A(1,2)向圆x^2+y^2=1所引的切线方程,并求切线的长.2.已知圆的方程为x^2+y^2=4,求与圆相切并在y轴上截距为4的直线方程.3.求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2又根号7

Question

1.求过点A(1,2)向圆x^2+y^2=1所引的切线方程,并求切线的长.2.已知圆的方程为x^2+y^2=4,求与圆相切并在y轴上截距为4的直线方程.3.求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2又根号7的圆的方程.
求讲解

Answer 1

1.求过点A(1,2)向圆x²+y²=1所引的切线方程,并求切线的长.
设切线方程为y=k(x-1)+2=kx+2-k,即kx-y+2-k=0；该切线到园心(0,0)的距离d：
d=∣2-k∣/√(1+k²)=1,即有(2-k)²=1+k²,4-4k+k²=1+k²,4k=3,故k=3/4；
于是得切线方程为y=(3/4)x+2-3/4=(3/4)x+5/4,即3x-4y+5=0为所求；
另由作图不难看出：还有一条垂直于x轴的切线x=1；
两条切线的长度相等,从第二条切线不难看出：切线的长度为2.
2.已知圆的方程为x²+y²=4,求与圆相切并在y轴上截距为4的直线方程.
设切线方程为y=kx+4,其到园心的距离d=4/√(1+k²)=2,即有16=4(1+k²),故k=±√3；
故切线方程为y=±(√3)x+4
3.求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2√7的圆的方程.
设园心坐标为(m,3m),则园的方程可设为(x-m)²+(y-3m)²=9m²,展开化简得：
x²-2mx+y²-6my+m²=0.(1)
将直线方程y=x代入(1)式,得x²-2mx+x²-6mx+m²=2x²-8mx+m²=0,设直线y=x与园的两个交点为
A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)；那么依维达定理有：
x₁+x₂=4m,x₁x₂=m²/2；于是弦长L=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]},用k=1,及x₁+x₂=4m,x₁x₂=m²/2
代入得√[2(16m²-2m²)=∣m∣√28=2∣m∣√7=2√7,故得∣m∣=1,m=±1,于是得园的方程为：(x-1)²+(y-3)²=9；或(x+1)²+(y+3)²=9.