（文）已知一个动圆与圆M1：（x+1）2+y2=1外切，同时又与圆M2：（x-1）2+y2=25内切．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（II）设经过圆M1的圆心且不与坐标轴垂直的直线交（Ⅰ）

Question

（文）已知一个动圆与圆M ₁ ：（x+1） ² +y ² =1外切，同时又与圆M ₂ ：（x-1） ² +y ² =25内切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（II）设经过圆M ₁ 的圆心且不与坐标轴垂直的直线交（Ⅰ）中的轨迹C于两点A、B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求G点横坐标的取值范围．

Answer 1

（I）不妨记圆M ₁ ，M ₂ 的圆心分别为M ₁ ，M ₂
由题意可知，动圆M与定圆与定圆M ₁ 相外切与定圆M ₂ 相内切
∴MM ₁ =r+1，MM ₂ =5-r（2分）
∴MM ₁ +MM ₂ =6＞M ₁ M ₂ =2（3分）
∴动圆圆心M的轨迹是以M ₁ ，M ₂ 为焦点的椭圆
由椭圆的定义可知，c=1，a=3，b ² =a ² -c ² =8（4分）
∴所求的轨迹C的方程为 (x2)/(9) +(y2)/(8) =1 （5分）
（II）由题意可知，直线AB过圆M ₁ 的圆心且不与坐标轴垂直，故可设直线AB的方程为y=k（x+1），k≠0
联立

y=k(x+1)

(x2)/(9) +(y2)/(8) =1

可得（9k ² +8）x ² +18k ² x+9k ² -72=0（6分）
∴

△= 18 2 k 4 -4(9 k 2 +8)(9 k 2 -72)＞0

x 1 + x 2 =-(18 k2)/(9 k2 +8)

x 1 x 2 =(9 k2 -72)/(9 k2 +8)

（7分）
设线段AB的中点为P（x ₀ ，y ₀ ），则 x 0 =(-9 k2)/(9 k2 +8) ， y 0 =(8k)/(9 k2 +8) （9分）
过点P（x ₀ ，y ₀ ）且垂直于AB的直线l ₂ 的方程为
y-(8k)/(9 k2 +8) =-(1)/(k) (x+(9 k2)/(9 k2 +8) ) （11分）
令y=0可得点G的横坐标x=- (k2)/(9 k2 +8) = -(1)/(9) +(8)/(9(9 k2 +8)) ，k≠ 0
∴ -(1)/(9) ＜x＜0
∴所求的x的范围是 (-(1)/(9) ，0) （13分）．．