已知椭圆的两个焦点F1（2根号2,0）,F2(2根号2,0),过点F1的直线l与椭圆交于M、N两点已知椭圆的两个焦点F1（2根号2,0）,F2(2根号2,0),过点F1的直线l与椭圆交于M、N两点,三角形MNF2的周长为12,求（2）

Question

已知椭圆的两个焦点F1（2根号2,0）,F2(2根号2,0),过点F1的直线l与椭圆交于M、N两点
已知椭圆的两个焦点F1（2根号2,0）,F2(2根号2,0),过点F1的直线l与椭圆交于M、N两点,三角形MNF2的周长为12,求（2）三角形MNF2的面积的最大值

Answer 1

c=2√2.
|F1F2|=4√2.
由椭圆的几何性质可得：|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|=2a.
△MNF2的周长=|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=12.
所以a=3.
b^2=a^2-c^2=9-8=1.
椭圆方程为：x^2/9+y^2=1
(2)
F1F2=4√2
设MN：x=ky-2√2
设M(x1,y1),(x2,y2),M在x轴上方,N在下方即y1>y2
x=ky-2√2代入x^2/9+y^2=1得
(k^2+9)y^2-4√2ky-1=0
△MNF2面积
=1/2*|y1-y2|*F1F2
=2√2(y1-y2)
=2√2*√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=2√2*6√(k^2+1)/(k^2+9)
当k=0时
有最大值=2√2*6*1/9=4√2/3