已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是

Question

已知椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距为4,且过点P( , ).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x ₀ ,y ₀ )(x ₀ y ₀ ≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2 ),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

Answer 1

已知椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距为4,且过点P( , ).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x ₀ ,y ₀ )(x ₀ y ₀ ≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2 ),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

(1) + =1   (2) 直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点，理由见解析

解:(1)因为焦距为4,
所以a ² -b ² =4.
又因为椭圆C过点P( , ),
所以 + =1,
故a ² =8,b ² =4,
从而椭圆C的方程为 + =1.
(2)一定有唯一的公共点.
由题意,E点坐标为(x ₀ ,0).
设D(x _D ,0),则 =(x ₀ ,-2 ), =(x _D ,-2 ).
再由AD⊥AE知, · =0,
即x _D x ₀ +8=0.
由于x ₀ y ₀ ≠0,故x _D =- .
因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G（ ,0）.
故直线QG的斜率k _QG = = .
又因Q(x ₀ ,y ₀ )在椭圆C上,
所以 +2 =8.①
从而k _QG =- .
故直线QG的方程为
y=- （x- ）.②
将②代入椭圆C方程,得
( +2 )x ² -16x ₀ x+64-16 =0.③
再将①代入③,化简得
x ² -2x ₀ x+ =0.
解得x=x ₀ ,y=y ₀ ,
即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.