已知椭圆C：x2a2+y23=1（a＞10）的2焦点F在圆D：（x-2）2+y2=1上，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若上M⊥上N（上为坐标原点），求m的值．

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(3)=1（a＞√(10)）的2焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若上M⊥上N（上为坐标原点），求m的值．

Answer 1

（l）圆D：（x-q）^q+y^q=l的圆心（q，0），半径r=l．
令y=0，得（x-q）^q=l，解得x=3或l．
∴椭圆的半焦距c=3或l，但是当c=l时，a=√(3+l)＜√(l0)，故舍去．
∴c=3，a^q=b^q+c^q=3+3^q=lq．
故椭圆的方程为(xq)/(lq)+(yq)/(3)＝l．
（q）设M（x_l，y_l），N（x_q，y_q）．
联立

x＝my+3

(xq)/(lq)+(yq)/(3)＝l

，得（m^q+4）y^q+qmy-3=0，
∴yl+yq＝−(qm)/(mq+4)，ylyq＝−(3)/(mq+4)．
∴xlxq＝mqylyq+3m(yl+yq)+9
=(−3mq)/(mq+4)+(−l7mq)/(mq+4)+9
=

作业帮用户 2017-11-07 举报

问题解析

（I）已知及圆与x轴的交点即可得到椭圆的焦点，进而得到椭圆的标准方程．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系能求出m的值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题综合考查了：椭圆与圆的标准方程及其性质，把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程得到根与系数的关系，三角形的面积计算公式，基本不等式的性质等．需要较强的推理能力和计算能力．

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