如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），直线l的解析式为y=x+1，l与x、y轴分别交于点B、C．（1）求点C的坐标；（2）求cos∠CBO的值；（3）在第一象限内，直线l上是否存在点P，使

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），直线l的解析式为y=x+1，l与x、y轴分别交于点B、C．

（1）求点C的坐标；
（2）求cos∠CBO的值；
（3）在第一象限内，直线l上是否存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令x=0，则y=1，则C（0，1）；
（2）令y=0，则0=x+1，
解得，x=-1，
∴B（-1，0），
∴OB=1．
∵由（1）知，C（0，1），
∴OC=1，
∴OB=OC．
∴如图，△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴cos∠CBO=(√(2))/(2)；
（3）假设存在点P，使∠OPA=90°．
∵点P在直线y=x+1上，∴设P（m，m+1）（m＞0），
∴在直角△OPA中，根据勾股定理知OP²+PA²=OA²，即m²+（m+1）²+（m-3）²+（m+1-2）²=2²+3²
解得，m=(−3+√(17))/(4)或m=(−3−√(17))/(4)（不合题意，舍去），
∴存在这样的点P，其坐标是（(−3+√(17))/(4)，(1+√(17))/(4)）．