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请阅读下列材料:问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.解:设所求方程的根为y,则y=2x所以x=y2.把x=y2代入已知方程,得(y2)2+y2-1=0化简,得y2+2y
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请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x所以x=
.
把x=
代入已知方程,得(
)2+
-1=0
化简,得y2+2y-4=0
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读村料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为己知方程根的相反数,则所求方程为:______;
(2)己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是己知方程根的倒数.
问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x所以x=
y |
2 |
把x=
y |
2 |
y |
2 |
y |
2 |
化简,得y2+2y-4=0
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读村料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为己知方程根的相反数,则所求方程为:______;
(2)己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是己知方程根的倒数.
▼优质解答
答案和解析
(1)设所求方程的根为y,则y=-x所以x=-y.
把x=-y代入已知方程,得y2-y-2=0,
故所求方程为y2-y-2=0;
(2)设所求方程的根为y,则y=
(x≠0),于是x=
(y≠0)
把x=
代入方程ax2+bx+c=0,得a(
)2+b•
+c=0
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,有ax2+bx=0,即x(ax+b)=0,
可得有一个解为x=0,不符合题意,因为题意要求方程ax2+bx+c=0有两个不为0的根.
故c≠0,
故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).
把x=-y代入已知方程,得y2-y-2=0,
故所求方程为y2-y-2=0;
(2)设所求方程的根为y,则y=
1 |
x |
1 |
y |
把x=
1 |
y |
1 |
y |
1 |
y |
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,有ax2+bx=0,即x(ax+b)=0,
可得有一个解为x=0,不符合题意,因为题意要求方程ax2+bx+c=0有两个不为0的根.
故c≠0,
故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).
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