已知椭圆过点（-3，2），离心率为，圆O的圆心为坐标原点，直径为椭圆的短轴，圆M的方程为（x-8）2+（y-6）2=4，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B。（1）求椭圆的方程

Question

已知椭圆 过点（-3，2），离心率为 ，圆O的圆心为坐标原点，直径为椭圆的短轴，圆M的方程为（x-8） ² +（y-6） ² =4，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与圆M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的方程；
（3）求 的最值．

Answer 1

已知椭圆 过点（-3，2），离心率为 ，圆O的圆心为坐标原点，直径为椭圆的短轴，圆M的方程为（x-8） ² +（y-6） ² =4，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与圆M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的方程；
（3）求 的最值．

（1）易知 ， ，
又 ，
解得： ， ，
∴椭圆的方程为 。
（2）可知，此时直线PA应经过圆心M（8，6），且直线PA的斜率存在，
设直线PA的方程为：y-6=k（x-8），
因为直线PA与圆O： 相切，
所以 ，解得： 或 ，
所以，直线PA的方程为x-3y+10=0或13x-9y-50=0。
（3）设 ，
则 =10 = = ，
因为OM=10，所以 ，
所以， 的最大值为 ，最小值为 。