已知椭圆的方程为,其中.（1）求椭圆形状最圆时的方程；（2）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点，证明：点在一个定圆上.

Question

已知椭圆 的方程为 ,其中 .
（1）求椭圆 形状最圆时的方程；
（2）若椭圆 最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点 ，证明：点 在一个定圆上.

Answer 1

已知椭圆 的方程为 ,其中 .
（1）求椭圆 形状最圆时的方程；
（2）若椭圆 最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点 ，证明：点 在一个定圆上.

（1） ；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，根据椭圆的标准方程应满足的条件得: ，且 ，则知椭圆的长轴在y轴上，而椭圆形状最圆时e最小，则先得到e的表达式，再根据三角函数的有界性求表达式的最小值，得到取得最小值时的 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出交点P的坐标，根据直线的斜率是否存在，分2种情况讨论，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于k的方程，由于两切线垂直，则 ，利用上述方程的两根之积得到 的值，整理出方程形式，再验证当斜率不存在时P点坐标，得到最终结论.
试题解析：（1）根据已知条件有 ，且 ，故椭圆 的长轴在 轴上.
，当且仅当 时取等号.
由于椭圆 的离心率 最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为 .    5分
（2）设交点 ，过交点 的直线 与椭圆 相切.
(1)当斜率不存在或等于零时，易得 点的坐标为 .    6分
(2)当斜率存在且非零时，则 设斜率为 ，则直线 ： ，
与椭圆方程联立消 ，得： .
由相切， ，
化简整理得 .①
因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故 ，而 为方程①的两根，
故 ，整理得： .
又 也满足上式，
故 点的轨迹方程为 ，即 点在定圆 上.   13分