已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-5），离心率为32（1）求：椭圆方程；（2）若直线y=12x+m与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，求：以F1F2和AB为对角

Question

已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-√(5)），离心率为(√(3))/(2)
（1）求：椭圆方程；（2）若直线y=(1)/(2)x+m与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F₁和F₂，求：以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积的最大值．

Answer 1

（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）
∵椭圆的一个顶点是(0，−√(5))∴b＝√(5)
∵离心率为e＝(c)/(a)＝(√(3))/(2)c＝(√(3))/(2)a
∵a²=b²+c²，∴a²=20，b²=5
∴椭圆方程：(x2)/(20)+(y2)/(5)＝1
（2）椭圆方程：(x2)/(20)+(y2)/(5)＝1
∴左右焦点为F1(−√(15)，0)，F2(√(15)，0)，F1F2＝2√(15)
联立方程

y＝(1)/(2)x+m

(x2)/(20)+(y2)/(5)＝1

整理可得，2y²-2my+m²-5=0
∵直线与椭圆相交于A、B两点，∴△=4m²-8（m²-5）＞0，即：−√(10)＜m＜√(10)，且y1+y2＝m，y1y2＝(m2−5)/(2)
由题知：以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积S＝(1)/(2)|F1F2||y1−y2|=2√(15)√((y1+y2)2−4y1y2)×(1)/(2)=√(15)√(10−m2)≤5√(6)