在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．设曲线C上任意一点P（x，y）满足|PA|=�在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．设曲线C上任意一

Question

在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．设曲线C上任意一点P（x，y）满足|PA|=�
在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．设曲线C上任意一点P（x，y）满足|PA|=λ|PB|（λ＞0且λ≠1）．
（1）求曲线C的方程，并指出此曲线的形状；
（2）对λ的两个不同取值λ₁，λ₂，记对应的曲线为C₁，C₂．
（i）若曲线C₁，C₂关于某直线对称，求λ₁，λ₂的积；
（ii）若λ₂＞λ₁＞1，判断两曲线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）由题意得√((x+1)2+y2)＝λ√((x?1)2+y2)，
两边平方并整理，得曲线C的方程为：
（λ²-1）x²+（λ²-1）y²-2（λ²+1）x+λ²-1=0，
∵λ＞0，且λ≠1，∴曲线C的方程可化为：
（x-(λ2+1)/(λ2?1)）²+y²=（(2λ)/(λ2?1)）²，
∴曲线C是以（(λ2+1)/(λ2?1)，0）为圆心，(2λ)/(|λ2?1|)为半径的圆．
（2）（i）由（1）知曲线c_i（i=1，2）是圆，
设圆心O_i（(λi2+1)/(λi2?1)，0），半径ri＝(2λi)/(|λi2?1|)．
当两圆关于某直线对称时，r₁=r₂，
即(2λ1)/(|λ12?1|)＝?(2λ2)/(|λ22?1|)，
∵λ₁≠λ₂，∴(2λ1)/(λ12?1)＝?(2λ2)/(λ22?1)，
整理，得（λ₁λ₂-1