在同一平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2=1经过伸缩变换x′=3xy′=2y后，变为曲线C′．（1）求曲线C′的方程；（2）在曲线C′上求一点P，使点P到直线x+2y-8=0的距离最小，求出最小值并写出此时

Question

在同一平面直角坐标系中，曲线C：x²+y²=1经过伸缩变换

x′=3x

y′=2y

后，变为曲线C′．
（1）求曲线C′的方程；
（2）在曲线C′上求一点P，使点P到直线x+2y-8=0的距离最小，求出最小值并写出此时点P的直角坐标．

Answer 1

（1）曲线C′的方程为：((x′)/(3))2+((y′)/(2))2=1，化简得：(x′2)/(9)+(y′2)/(4)=1．（4分）
（2）因为椭圆C′的参数方程为

x′=3cosϕ

y′=2sinϕ

，ϕ为参数，
所以可设点P的坐标为（3cosϕ，2sinϕ），（6分）
由点到直线的距离公式，得到点P到直线的距离为d=(|3cosϕ+4sinϕ-8|)/(√(5))（7分）
=(|5((3)/(5)cosϕ+(4)/(5)sinϕ)-8|)/(√(5))=(|5cos(θ-ϕ)-8|)/(√(5))．（10分）
由三角函数知识知，当θ-ϕ=0时，d取最小值(3√(5))/(5)．（12分）
此时ϕ=θ，cosϕ=cosθ=(3)/(5)，sinϕ=sinθ=(4)/(5)．（13分）
点P的坐标为（3×(3)/(5)，2×(4)/(5)），即（(9)/(5)，(8)/(5)）．（14分）