已知双曲线C的中点在原点，双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（2，3）．（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线C的左顶点为A，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否

Question

已知双曲线C的中点在原点，双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（√(2)，√(3)）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左顶点为A，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．

Answer 1

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)，
∵双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（√(2)，√(3)），
∴

a2+b2＝4

(2)/(a2)−(3)/(b2)＝1

，∴a＝1，b＝√(3)，
∴双曲线C的方程为x2−(y2)/(3)＝1；
（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．
以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．
设P（x₀，y₀），则k_PA=tan∠PAF=(y0)/(x0+1)，k_PF=-tan∠PFA=(y0)/(x0−2)．
tan2∠PAF=