曲线C上任一点到点F1（-4,0）,F2（4,0）的距离之和为12．曲线C的左顶点为A,点P在曲线C上,且PA⊥PF2．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求点P的坐标；（Ⅲ）在y轴上求一点M,使M到曲线C上点的距离最

Question

曲线C上任一点到点F1（-4,0）,F2（4,0）的距离之和为12．曲线C的左顶点为A,点P在曲线C上,且PA⊥PF2．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）在y轴上求一点M,使M到曲线C上点的距离最大值为 3√7
第二问P答案应该有两点吧,

Answer 1

(1)依题意,曲线C上是以F1（-4,0）,F2（4,0）为焦点的椭圆
其中,c=4,2a=12,a=6,b^2=20
曲线C的方程：x^2/36+y^2/20=1
(2)设 P(x,y) ,A(-6,0),F2（4,0）
∵ PA⊥PF2 ,P在以PA为直径的圆上
∴ （x+1)^2+y^2=25与x^2/36+y^2/20=1联立
解得x=-6（舍去） 或x=3/2,
∴ P(3/2,±5√3/2)
(3)设M(0,m),N(x,y),x^2=36(1-y^2/20) -√20≤y≤√20
（本问的意思：将 M(0,m)看成定点,在曲线C上找
动点N使MN最大,而这个最大值恰好是 3√7）
|MN|^2=x^2+(y-m)^2= 36-9/5 y^2+y^2-2my+m^2
=-4/5 y^2 -2my+m^2+36
=-4/5(y+5m/4)^2+9/4 m^2+36
当-√20≤-5m/4≤√20时,-4√20/5 ≤m≤4√20/5
y=-5m/4,|MN|^2取得最大值9m^2/4+36
9m^2/4+36=（3√7）^2,m^2=12,m=±2√3
当- 5m/4＞√20,m＜-4√20/5
y=√20 ,|MN|^2取得最大值 20-2√20m+m^2
20-2√20m+m^2=63,m^2-2√20m-43=0
解得：m=√20-3√7>-4√20/5 (舍去）
当- 5m/4＜-√20,m＞4√20/5
y=-√20 ,|MN|^2取得最大值 20+2√20m+m^2
20+2√20m+m^2=63,m^2+2√20m-43=0
解得：m=-√20+3√7