已知抛物线y=ax的平方+bx+c（a不等于0）顶点为（1,1）且过原点0.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4作垂线,垂足为M,连接FM（1）求字母a,b,c的值（2）在直线x=1上有一点F（1,3/4）求以PM为底边的等腰

Question

已知抛物线y=ax的平方+bx+c（a不等于0）顶点为（1,1）且过原点0.过抛物线上一点P(x,
y)向直线y=5/4作垂线,垂足为M,连接FM
（1）求字母a,b,c的值（2）在直线x=1上有一点F（1,3/4）求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点坐标,并证明此时三角形PFM为正三角形（3）对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N（1,t）,使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.

Answer 1

1、过原点,则c=0
(1,1)为顶点,则有-b/(2a)=1,将（1,1）代入y=ax^2+bx得a+b=1
联立求解,a=-1,b=2
y=-x^2+2x

2、P（x,y）,由于PM垂直于y=5/4,所以M坐标为（x,5/4）,又F（1,3/4）
根据两点距离公式,
MF^2=(x-1)^2+(5/4-3/4)^2=(x-1)^2+1/4
PF^2=(x-1)^2+(y-3/4)^2

又y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1,故 (x-1)^2=1-y
所以MF^2=5/4-y,PF^2=(y-3/4)^2+1-y
根据题意有MF=PF,则5/4-y=(y-3/4)^2+1-y,得y1=5/4,y2=1/4 (由于顶点（1,1）,故y=5/4不可能在抛物线上,舍弃)
分别将y=1/4代入抛物线方程,得P点坐标为（(根号3)/2,1/4）（-(根号3)/2,1/4）

证明：将y代入MF^2=5/4-1得MF=1,故PF=1
又PM=|y-5/4|=1,所以PM=MF=PF,即等边三角形

3、由题意,PM^2=(y-5/4)^2,PN^2=(x-1)^2+(y-t)^2=1-y+(y-t)^2 【注,y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1】
由PM=PN,得(y-5/4)^2=1-y+(y-t)^2
即y^2-5/2*y+25/16=y^2-(2t+1)y+t^2+1
化简得2（t-3/4）y=t^2-9/16=(t+3/4)(t-3/4)

2（t-3/4）y=(t+3/4)(t-3/4)恒等的条件是t-3/4=0,即t=3/4