线性代数问题1.已知二次型f（x1,x2,x3）=x1^2+tx2^2+2x3^2+2x1x2的秩为2,（1）求t,并写出此二次型对应的矩阵A；（2）求正交变换x=Qy,把二次型f（x1,x2,x3）化为标准型2.设A为2n+1阶正交矩阵,且|A|=1,试证

Question

线性代数问题
1.已知二次型f（x1,x2,x3）=x1^2+tx2^2+2x3^2+2x1x2的秩为2,
（1）求t,并写出此二次型对应的矩阵A；
（2）求正交变换x=Qy,把二次型f（x1,x2,x3）化为标准型
2.设A为2n+1阶正交矩阵,且|A|=1,试证：A必有特征值1

Answer 1

因为 A为正交矩阵,所以 AA^T = E.
所以 |A-E|
= |A - AA^T|
= |A(E-A^T)|
= |A||E-A^T|
= |(E-A)^T|
= |E-A|
= |-(A-E)|
= (-1)^(2n+1) |A-E|
= -|A-E|.
所以 |A-E|=0
所以1是A的特征值.