在数1与100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这（n+2）个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n≥1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn＝an2n，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

在数1与100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这（n+2）个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记bn＝(an)/(2n)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）∵在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
∴设这个等比数列为{c_n}，则c₁=1，cn+2＝qn+1＝100，
又∵这n+2个数的乘积计作T_n，
∴T_n=q•q²•q³×…×qⁿ⁺¹
=q^1+2+3+…+n•qⁿ⁺¹
=q(n)/(2)(n+1)×100
=100 (n)/(2)×100
=10ⁿ⁺²，
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n∈N^*．
（II）∵a_n=n+2，
∴bn＝(an)/(2n)=(n+2)/(2n)，
∴S_n=(3)/(2)+(4)/(22)+(5)/(23)+…+(n+1)/(2n−1)+(n+2)/(2n)，①
(1)/(2)Sn=(3)/(22)+(4)/(23)+(5)/(24)+…+(n+2)/(2n+1)，②
①-②，得：
(1)/(2)Sn=(3)/(2)+(1)/(22)+(1)/(23)+…+(1)/(2n)−(n+2)/(2n+1)
=1+

(1)/(2)(1−

作业帮用户 2017-09-24 举报

问题解析

（I）设这个等比数列为{c_n}，则c₁=1，cn+2＝qn+1＝100，由此利用等比数列的性质和等差数列的前n项和公式能推导出这n+2个数的乘积T_n=10ⁿ⁺²，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由a_n=n+2，得到bn＝

(an)/(2n)=(n+2)/(2n)，由此利用错位相减法能求出S_n．

名师点评

本题考点：

数列的求和．

考点点评：

本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议