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已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的公差不为0,数列{bn}满足bn=(an-1)2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的公差不为0,数列{bn}满足bn=(an-1)2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的公差不为0,数列{bn}满足bn=(an-1)2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
▼优质解答
答案和解析
(1)等差数列{an}公差为d,首项为a1,
∵a1,a3,a7成等比数列.
∴a32=a1a7,
即(a1+2d)2=a1(a1+6d),
化简得d=
a1,或d=0.
当d=
a1,S3=3a1+
×
a1=9,得a1=2,d=1.
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1,即an=n+1,
数列{an}的通项公式an=n+1;
当d=0时,S3=3a1=9,a1=3,
∴数列{an}的通项公式an=3;
(2)若数列{an}的公差不为0,an=n+1,
bn=(an-1)2n=(n+1-1)2n=n2n,
∴bn=n•2n,
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n,
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1,
两式相减:得-Tn=2+22+22+…+2n-n×2n+1,
=2n+1-2-n×2n+1,
∴Tn=(n-1)2n+1+2.
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=(n-1)2n+1+2.
∵a1,a3,a7成等比数列.
∴a32=a1a7,
即(a1+2d)2=a1(a1+6d),
化简得d=
1 |
2 |
当d=
1 |
2 |
3×2 |
2 |
1 |
2 |
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1,即an=n+1,
数列{an}的通项公式an=n+1;
当d=0时,S3=3a1=9,a1=3,
∴数列{an}的通项公式an=3;
(2)若数列{an}的公差不为0,an=n+1,
bn=(an-1)2n=(n+1-1)2n=n2n,
∴bn=n•2n,
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n,
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1,
两式相减:得-Tn=2+22+22+…+2n-n×2n+1,
=2n+1-2-n×2n+1,
∴Tn=(n-1)2n+1+2.
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=(n-1)2n+1+2.
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