锐角三角形ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=21，则实数b的取值范围是（）A.(6，7]B.(0，7]C.(2425，7]D.（6，7]

Question

锐角三角形ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a²+b²+c²=21，则实数b的取值范围是（　　）

A. (

√(6)，√(7)]

B. (0，

√(7)]

C. (

(2√(42))/(5)，√(7)]

D. （6，7]

Answer 1

设a≤b≤c，a，b，c组成的等差数列公差为d（d≥0），
则a=b-d，c=b+d，
∵a²+b²+c²=21，∴（b-d）²+b²+（b+d）²=21，
即3b²+2d²=21，
∴当d²=0时，b取得最大值√(7)；
由a+b>c得b-d+b>b+d，即d<(b)/(2)，
∴3b²+2×(b2)/(4)>21，解得b>√(6)；
由三角形ABC为锐角三角形可知cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)>0，
即a²+b²-c²>0，
∴（b-d）²+b²-（b+d）²>0，解得d<(b)/(4)，
∴3b²+2×(b2)/(16)>21，解得b>(2√(42))/(5)，
综上，(2√(42))/(5)<b≤√(7)．
故选C．