高二数学题求助已知抛物线y^2=4x的顶点为o,过点(-1,0)且平行于向量a=（1,k）的直线于抛物线c交于A,B两点,当实数k变化时：（1）求证:向量OA*向量OB是一个与k无关的常数（2）若向量OM=向量OA+向量

Question

高二数学题求助
已知抛物线y^2=4x的顶点为o,过点(-1,0)且平行于向量a=（1,k）的直线于抛物线c交于A,B两点,当实数k变化时：
（1）求证:向量OA*向量OB是一个与k无关的常数
（2）若向量OM=向量OA+向量OB,求向量om的绝对值的最小值

Answer 1

(1)
∵过点(-1,0)的直线平行于向量a=（1,k）
∴该直线的斜率为k
∴该直线方程为y=kx+k
设A(x1,y1),B(x2,y2)
由y=kx+k和y^2=4x得k²x²+(2k²-4)x+k²=0 （1）
x1、x2为方程（1）的两个根
∴x1x2=1,x1+x2=4/k²-2
向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=1+(kx1+k)(kx2+k)
=1+k²x1x2+k²x1+k²x2+k²
=1+k²+k²(x1+x2)+k²
=1+2k²+k²(4/k²-2)
=1+2k²+4-2k²=5
∴向量OA*向量OB是一个与k无关的常数
(2)
∵向量OM=向量OA+向量OB
两边平方得|OM|²=|OA|²+|OB|²+2倍的向量OA*向量OB
∴|OM|²=x1²+y1²+x2²+y2²+10
=x1²+4x1+x2²+4x2+10
=(x1+x2)²-2x1x2+4(x1+x2)+10
=(4/k²-2)²+4(4/k²-2)+8
=(4/k²-2+2)²+4
=16/k^4+4
∵方程k²x²+(2k²-4)x+k²=0 有实根
∴△>=0,即(2k²-4)²-4k²k²>=0
∴k²