线形代数高手请进设A为实对称矩阵,A^2=O,求证A=O.要求1.思路清晰2.表达清晰唉，我怎么就没想到呢。特殊方程必有特殊算法。只需A^2=AA^T的(i,i)主对角元为零,可证A=O。A的第i行行向量αi=(ai1,

Question

线形代数高手请进
设A为实对称矩阵,A^2=O,求证A=O.
要求
1.思路清晰
2.表达清晰
唉，我怎么就没想到呢。
特殊方程必有特殊算法。
只需A^2=AA^T的(i,i)主对角元为零,可证A=O。
A的第i行行向量 αi = (ai1,ai2,...,ain)
A^T的第i列列向量 αi^T=(ai1,ai2,...,ain)^T
AA^T的(i,i)主对角元
αiαi^T=ai1^2+ai2^2+……+ain^2=0
∴行向量αi=O
∴A=O

Answer 1

设A的列向量组为（a1,a2,...,aj）
因为A*A=0,所以A的每一列都是矩阵A的相对于特征值0的特征向量,即
A*a1=0,--------- 1式
A*a2=0,--------- 2式
...,
A*aj=0 --------- j式
又因为A是对称矩阵,则
由1式得A的第一行（第一列）各元素的平方和为0,所以其各元素均为0；
依此类推,由2式得A的第二行（第二列）各元素为0,
...
所以A=0