已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证...已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求

Question

已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证...
已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证:直线MN经过定点(1,0)

Answer 1

设M（x1,y1）,N（x2,y2）,Q（1,0）,
依题意,直线PA经过点A（-2,0）,P（4,t）,
可以设AP：y=t6(x+2),（6分）
和圆x2+y2=4联立,得到y=
t6(x+2)x2+y2=4​,
代入消元得到,（t2+36）x2+4t2x+4t2-144=0,（7分）
因为直线AP经过点A（-2,0）,M（x1,y1）,所以-2,x1是方程的两个根,
所以有-2x1=
4t2-144t2+36,x1=
72-2t2t2+36,（8分）
代入直线方程y=
t6(x+2)得,y1=
t6(
72-2t2t2+36+2)=
24tt2+36．（9分）
同理,设BP：y=
t2(x-2),联立方程有y=
t2(x-2)x2+y2=4​,
代入消元得到（4+t2）x2-4t2x+4t2-16=0,
因为直线BP经过点B（2,0）,N（x2,y2）,所以2,x2是方程的两个根,2x2=
4t2-16t2+4,x2=
2t2-8t2+4,
代入y=
t2(x-2)得到y2=
t2(
2t2-8t2+4-2)=
-8tt2+4．（11分）
若x1=1,则t2=12,此时x2=
2t2-8t2+4=1
显然M,Q,N三点在直线x=1上,即直线MN经过定点Q（1,0）（12分）
若x1≠1,则t2≠12,x2≠1,
所以有kMQ=
y1-0x1-1=
24tt2+3672-2t2t2+36-1=
8t12-t2,kNQ=
y2-0x2-1=
-8tt2+42t2-8t2+4-1=
-8tt2-12（13分）
所以kMQ=kNQ,所以M,N,Q三点共线,
即直线MN经过定点Q（1,0）．
综上所述,直线MN经过定点Q（1,0）．（14分）