如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE=7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC=15°．（1）求∠DEB的度数；（2）求证：2CF=CM+2FB．

Question

如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE=7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC=15°．

（1）求∠DEB的度数；
（2）求证：2CF=CM+2FB．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=2∠DAC=2×5°=30°，
∠ABC=180°-∠DAB=180°-30°=150°，
∵∠ABE：∠CBE=7：3，
∴∠ABE=150°×(7)/(3+7)=105°，
∴∠DEB=180°-∠ABE=180°-105°=75°；
（2）证明：∵BK⊥AD，菱形的对边AD∥BC，
∴∠CBM=∠AKB=90°，∠BCA=∠DAC=15°，
如图，取CM的中点G，连接BG，
则BG=CG=(1)/(2)CM，
∴∠CBG=∠BCG=15°，
∵∠EBG=∠EBC-∠CBG=（150°-105°）-15°=30°，
∠BGM=∠CBG+∠BCA=15°+5°=30°，
∴∠GBF=∠BMG，
∴FB=FG，
∵CF=CG+FG，
∴CF=(1)/(2)CM+FB，
故2CF=CM+2FB．