如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．

Question

如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．

(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．

Answer 1

略

证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，

∴SA⊥BC．∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC．

∴BC⊥平面SAB．

∴BC⊥AE．又SB⊥AE．

∴AE⊥平面SBC．

∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF．

∴AE⊥SC．

(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．

又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD．

∴DC⊥AG．

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG面AEF，

∴SC⊥AG．∴AG⊥平面SDC．∴AG⊥SD．

本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现．结合图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在的平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证．