初三几何综合在RT△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=1/2,点D在边AC上,不与A,C重合,连结BD,F为BD中点（1）若过点D作DE⊥AB于E,连结CF,EF,CE,如图1,设CF=kEF,则k=(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D,E,B三点共线,点

Question

初三几何综合
在RT△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=1/2,点D在边AC上,不与A,C重合,连结BD,F为BD中点（1）若过点D作DE⊥AB于E,连结CF,EF,CE,如图1,设CF=kEF,则k= (2) 若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D,E,B三点共线,点F仍为BD中点,如图二,求证:BE-DE=2CF（3）若BC=6,点D在AC的三等分点,将线段AD绕A旋转,点F始终为BD中点,求线段CF的最大值

Answer 1

（1）∵F为BD中点,DE⊥AB,
∴CF= 1/2BD,EF= 1/2BD,
∴CF=EF,
∴k=1；
故答案为1．
（2）如图,过点C作CE的垂线交BD于点G,设BD与AC的交点为Q．
由题意,tan∠BAC= 1/2,
∴ BC/AC=DE/AE=1/2．
∵D、E、B三点共线,
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD,∠ACB=90°,
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°,∠BCG+∠ACG=90°,
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴ BC/AC=GB/AE=1/2
∴GB=DE．
∵F是BD中点,
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中,CF=1/2EG,
∴BE-DE=EG=2CF；
（3）情况1：如图,当AD= 1/3AC时,取AB的中点M,连接MF和CM,
∵∠ACB=90°,tan∠BAC= 1/2,且BC=6,
∴AC=12,AB= 6根号5．
∵M为AB中点,
∴CM= 3根号5,
∵AD= 1/3AC,
∴AD=4．∵M为AB中点,F为BD中点,
∴FM= 1/2AD=2．
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大,
此时CF=CM+FM= 2+3根号5．
情况2：如图,当AD= 2/3AC时,取AB的中点M,连接MF和CM,
类似于情况1,可知CF的最大值为 4+3根号5．
综合情况1与情况2,可知当点D在靠近点C的
三等分点时,线段CF的长度取得最大值为 4+3根号5．