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如图,正方形ABCD中,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(点E不与点A、点D重合),同时,点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(点F不与点D点、点C重合),点E与F点运动速度相同,当点E停止运
题目详情
如图,正方形ABCD中,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(点E不与点A、点D重合),同时,点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(点F不与点D点、点C重合),点E与F点运动速度相同,当点E停止运动时,另一动点F也随之停止运动,设BE和AF相交于点P,连接PC,请探究:
(1)AF和BE有怎样的位置关系?试说明理由;
(2)当点E运动到AD中点位置时,PA:PB是多少?
(3)当点F运动到DC中点位置时,PC和BC有怎样的数量关系?并证明你的结论.
(1)AF和BE有怎样的位置关系?试说明理由;
(2)当点E运动到AD中点位置时,PA:PB是多少?
(3)当点F运动到DC中点位置时,PC和BC有怎样的数量关系?并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)AF⊥BE.
∵E在AD边上(不与A、D重合),点F在DC边上(不与D、C重合).
又点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动,
∴AE=DF
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠BAE=∠D=90°
∴△BAE≌△ADF(SAS)
∴∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°即∠APB=90°
∴AF⊥BE.
(2)由(1)知当点E运动到AD中点时,点F也运动到DC中点,此时就有AF⊥BE.
∵F是CD的中点,∴DF=
CD,∵AD=CD,∴DF=
AD
∵∠1=∠2,
∴tan∠1=tan∠2
在Rt△ADF中,tan∠2=
=
∴在Rt△APB中,tan∠1=
∴PA:PB的值是1:2.
(3)PC=BC.
证明:延长AF交BC的延长线于点G,
∵∠D=∠DCG=90°,DF=CF,∠AFD=∠GFC,
∴△ADF≌△GCF(ASA),
∴CG=AD,
∵BC=AD,∴CG=BC=
BG,
由(1)知AF⊥BE,
∴∠BPG=90°,
∴△BPG为直角三角形
∴PC=
BG,
∵BC=
BG,
∴PC=BC.
∵E在AD边上(不与A、D重合),点F在DC边上(不与D、C重合).
又点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动,
∴AE=DF
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠BAE=∠D=90°
∴△BAE≌△ADF(SAS)
∴∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°即∠APB=90°
∴AF⊥BE.
(2)由(1)知当点E运动到AD中点时,点F也运动到DC中点,此时就有AF⊥BE.
∵F是CD的中点,∴DF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵∠1=∠2,
∴tan∠1=tan∠2
在Rt△ADF中,tan∠2=
DF |
AD |
1 |
2 |
∴在Rt△APB中,tan∠1=
1 |
2 |
∴PA:PB的值是1:2.
(3)PC=BC.
证明:延长AF交BC的延长线于点G,
∵∠D=∠DCG=90°,DF=CF,∠AFD=∠GFC,
∴△ADF≌△GCF(ASA),
∴CG=AD,
∵BC=AD,∴CG=BC=
1 |
2 |
由(1)知AF⊥BE,
∴∠BPG=90°,
∴△BPG为直角三角形
∴PC=
1 |
2 |
∵BC=
1 |
2 |
∴PC=BC.
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