已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR=90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K．（1）求证：Q、H、K、P四点共圆；（2）求证：QT=TS．

Question

已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR=90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K．

（1）求证：Q、H、K、P四点共圆；
（2）求证：QT=TS．

Answer 1

证明：（1）∵过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K，
∴∠PHQ=∠PKQ=90°，
∴Q、H、K、P四点共圆；
（2）∵Q、H、K、P四点共圆，
∴∠HKS=(π)/(2)-∠HPQ=∠HQP，①
∵∠PSR=90°，PR为圆B的直径，
∴∠PQR=90°，∠QRH=∠HQP，②
由①②得，∠QSP=∠HKS，
∴△TSK为等腰三角形，ST=TK，
又∵∠SKQ=90°，
∴∠SQK=∠TKQ，即△TKQ为等腰三角形，QT=TK，
∴QT=TS．