由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列{bn}，bn=f-1（n），则称数列{bn}是数列{an}的“反数列”．（1）若函数f(x)=2x确定数列{an}的反数列为{bn}，求bn

Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数f(x)=2√(x)确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求b_n；
（2）设c_n=3ⁿ，数列{c_n}与其反数列{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}
（公共项t_k=c_p=d_q，k、p、q为正整数）．求数列{t_n}前10项和S₁₀；
（3）对（1）中{b_n}，不等式√((1)/(bn+1))+√((1)/(bn+2))+…+√((1)/(b2n))＞(1)/(2)loga(1-2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

（1）f(x)=2√(x)（x≥0）⇒an=2√(n)（n为正整数），
f-1(x)=(x2)/(4)（x≥0）
所以数列{a_n}的反数列{b_n}的通项bn=(n2)/(4)（n为正整数）．
（2）c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，
3^p=log₃q，
则q=33p，
有{c_n}⊂{d_n}，t_n=3ⁿ，
所以{t_n}的前n项和S10=(3)/(2)(310-1)．
（3）对于（1）中{b_n}，
不等式化为：(2)/(n+1)+(2)/(n+2)+…+(2)/(2n)＞(1)/(2)loga(1-2a)，
对任意正整数n恒成立，
设T_n=(2)/(n+1)+(2)/(n+2)+…+(2)/(2n)，
Tn+1-Tn=(2)/(2n+1)+(2)/(2(n+1))-(2)/(n+1)=(2)/(2n+1)-(2)/(2n+2)＞0，
数列{T_n}单调递增，
所以（T_n）_min=T₁=1，
要使不等式恒成立，
只要1＞(1)/(2)loga(1-2a)．
∵1-2a＞0，∴0＜a＜(1)/(2)，
1-2a＞a²，0＜a＜√(2)-1．
所以，使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是：(0，√(2)-1)