已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=kBC，直线l经过点A，过点C、B分别向直线l作垂线，垂足分别为E、F，CE交AB于点M．（1）如图1，若k=1，求证：AE+BF=CE；（2）如图2，若k=2，则AE、BF、CE之间的数量关

Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=kBC，直线l经过点A，过点C、B分别向直线l作垂线，垂足分别为E、F，CE交AB于点M．

（1）如图1，若k=1，求证：AE+BF=CE；
（2）如图2，若k=2，则AE、BF、CE之间的数量关系是

CE=(1)/(2)AE+BF

CE=(1)/(2)AE+BF

；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF，过点A作AG∥CF，交CE延长线于点G，若CF=3√(5)，BF=5，求MG的长．

Answer 1

（1）证明：过点C作CH⊥BF，交FB的延长线于点H，如图1．
∵CH⊥BF，BF⊥EF，CE⊥EF，
∴∠CHF=∠HFE=∠FEC=90°．
∴四边形CEFH是矩形．
∴CE=HF，∠HCE=90°．
∵∠HCE=∠ACB=90°，
∴∠HCB=∠ECA．
在△BHC和△AEC中，

∠BHC＝∠AEC

∠HCB＝∠ECA

BC＝AC

．
∴△BHC≌△AEC（AAS）．
∴BH=AE，
∴AE+BF=BH+BF=HF=CE．

（2）证明：过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图2．
∵CP⊥BF，BF⊥EF，CE⊥EF，
∴∠CPF=∠PFE=∠FEC=90°．
∴四边形CEFP是矩形．
∴CP=EF，CE=PF，∠PCE=90°．
∵∠ACB=∠PCE=90°，
∴∠ECA=∠PCB．
∵∠AEC=∠BPC=90°，
∴△AEC∽△BPC．
∴(AE)/(BP)=(EC)/(PC)=(AC)/(BC)=2．
∴AE=2BP，EC=2PC．
∴CE=PF=PB+BF=(1)/(2)AE+BF．
故答案为：CE=(1)/(2)AE+BF．

（3）过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图3．
由（2）得：CP=EF，CE=PF，AE=2BP，EC=2PC．
∴PF=CE=2PC．
在Rt△CPF中，
∵∠CPF=90°，
∴PC²+PF²=CF²．
∴PC²+（2PC）²=（3√(5)^）2．
解得：PC=3．
∴EF=PC=3，PF=CE=2PC=6，
BP=PF-BF=6-5=1，AE=2BP=2．
∵CF∥AG，
∴△AEG∽△FEC．
∴(EG)/(EC)=(AE)/(FE)．
∴(EG)/(6)=(2)/(3)．
∴EG=4．
∵∠AEC=90°=∠AFB，
∴EM∥BF．
∴△AEM∽△AFB．
∴(ME)/(BF)=(AE)/(AF)．
∴(ME)/(5)=(2)/(2+3)．
∴ME=2．
∴MG=GE+ME=6．
∴MG的长为6．