如图1所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=0.5T的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距L=0.2m，左端连接阻值R=0.4Ω的电阻．质量m=0.1kg的导体棒ab垂直跨接

Question

如图1所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=0.5T的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距L=0.2m，左端连接阻值R=0.4Ω的电阻．质量m=0.1kg的导体棒ab垂直跨接在导轨上，与导轨间的动摩擦因数μ=0.2．从t=0时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好．除R以外其余部分的电阻均不计，取重力加速度大小g=10m/s²．

Ⅰ．若电动机保持恒定功率输出，棒的v-t 如图2所示（其中OA是曲线，AB是水平直线），已知0～10s内电阻R上产生的热量Q=30J，则求：
（1）导体棒达到最大速度v_m时牵引力大小；
（2）导体棒从静止开始达到最大速度v_m时的位移大小．
Ⅱ．若电动机保持恒牵引力F=0.3N，且将电阻换为C=10F的电容器（耐压值足够大），如图3所示，则求：
（3）t=10s时牵引力的功率．

Answer 1

（1）当导体棒达到最大速度后，所受合外力为零，沿导轨方向有：F-F_安-f=0
摩擦力 f=μmg=0.2×0.1×10N=0.2N
感应电动势 E=BLv_m；
感应电流 I=(E)/(R)
安培力 F_安=BIL=(B2L2vm)/(R)=(0．52×0．22×10)/(0.4)N=0.25N
此时牵引力 F=F_安+f=0.45N
（2）变力做功问题不能用功的定义式，在0～10 s内牵引力是变力但功率恒定，可根据能量守恒定律求解．
电动机的功率 P=Fv_m=0.45×10W=4.5W
电动机消耗的电能等于导体棒的动能、克服安培力做功产生的焦耳热与克服摩擦力做功产生的内能之和，有：
  Pt=(1)/(2)m

v

2 m

+fx+Q
解得位移 x=50m
（3）当金属棒的速度大小为时v，感应电动势为 E=BLv
由C=(Q)/(U)可知，此时电容器极板上的电荷量为 Q=CU=CE=CBLv
设在一小段时间△t内，可认为导体棒做匀变速运动，速度增加量为△v，
电容器极板上增加的电荷量为△Q=CBL•△v
根据电流的定义式 I=(△Q)/(△t)=(CBL•△v)/(△t)=CBLa
对导体棒受力分析，根据牛顿第二定律，有 F-f-BIL=ma
将I=CBLa代入上式可得：
   a=(F-f)/(m+CB2L2)
代入数据解得 a=0.5m/s²．
可知导体棒的加速度与时间无关，为一个定值，即导体棒做匀加速运动．
在t=10s时，v=at=0.5×10=5m/s，此时的功率  P=Fv=0.3×5=1.5W
答：
（1）导体棒达到最大速度v_m时牵引力大小是0.45N；
（2）导体棒从静止开始达到最大速度v_m时的位移大小是50m；
（3）t=10s时牵引力的功率是1.5W．