在等差数列{an}中,a1=13,若前3项的和与前11项的和相等.（1）若这个数列的各项绝对值构成一个新数列,求这个数列的前20项的和

Question

在等差数列{an}中,a1=13,若前3项的和与前11项的和相等.
（1）若这个数列的各项绝对值构成一个新数列,求这个数列的前20项的和

Answer 1

设此等差数列的公差为d,则由等差数列的求和公式Sn=na1+n(n-1)*d/2可得：
S3＝3a1+3d,S11＝11a1+55d
由于前3项的和与前11项的和相等,则：
3a1+3d＝11a1+55d
即52d=-8a1
因为a1＝13,所以52d＝-8*13
解得d=-2
则该等差数列为递减数列,且通项an＝a1+(n-1)d=-2n+15
令-2n+15≥0,解得n≤15/2
这就是说从第1项起到第7项都是正数,从第8项起都是负数
若将这个数列的各项绝对值构成一个新数列,那么易知从原数列的第8项起每一项（负数）都变为原来的相反数（正数）
所以可以考虑分两段对新数列的前20项求和
由于原数列a8=-1,所以
新数列的前20项和为：
(S20)'＝(|a1|+|a2|+...+|a7|)+(|a8|+|a9|+..+|a20|)
=(a1+a2+...+a7)-(a8+a9+...+a20)
=7*13+7*6*(-2)/2 -[13*(-1)+13*12*(-2)/2]
=91-42+13+156
=218