已知函数f（x）=4x-2x，实数s，t满足f（s）+f（t）=0，a=2s+2t，b=2s+t．（1）当函数f（x）的定义域为[-1，1]时，求f（x）的值域；（2）求函数关系式b=g（a），并求函数g（a）的定义域D；（3）在（

Question

已知函数f（x）=4^x-2^x，实数s，t满足f（s）+f（t）=0，a=2^s+2^t，b=2^s+t．
（1）当函数f（x）的定义域为[-1，1]时，求f（x）的值域；
（2）求函数关系式b=g（a），并求函数g（a）的定义域D；
（3）在（2）的结论中，对任意x₁∈D，都存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₁）=f（x₂）+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=4^x-2^x，f（x）的定义域为[-1，1]时，
∴t=2^x∈[(1)/(2)，2]，g（t）=t²-t单调递增，
∵g（(1)/(2)）=-(1)/(4)，g（2）=2，
∴f（x）的值域为：[-(1)/(4)，2]．
（2）∵f（s）+f（t）=0，
∴4^s-2^s+4^t-2^t=0，
化简得出：（2^s+2^t）²-2•2^s+t-（2^s+2^t）=0，
∵a=2^s+2^t，b=2^s+t．2^s+2^t≥2√(2s+t)．a≥2√(b)
∴a²-2b-a=0，a≥2√(b)，a≥2√((a2-a)/(2))，a>0
即b=(a2-a)/(2)，1<a≤2，D=（1，2]；
（3）g（x）=(1)/(2)（x²-x）∈（0，1]，f（x）∈[-(1)/(4)，2]．
∵对任意x₁∈D，都存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₁）=f（x₂）+m成立，
∴（0，1]⊆[-(1)/(4)+m，2+m]．
∴-1≤m≤(1)/(4)．