已知函数f（x）=2x2+12，g(x)＝lnx+b（1）当b=0时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最值．（2）若b是正整数，且g（x）≤ax≤f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，试求b的值及a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2x 2+(1)/(2)，g(x)＝lnx+b
（1）当b=0时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最值．
（2）若b是正整数，且g（x）≤ax≤f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，试求b的值及a的取值范围．

Answer 1

（1）当b=0时，h（x）=2x2+(1)/(2)−lnx，
h′（x）=4x-(1)/(x)=((2x+1)(2x−1))/(x)（x＞0），
令h′（x）=0，得x=(1)/(2)，或x=-(1)/(2)（舍去），
当0＜x＜(1)/(2)时，h′（x）＜0，此时函数h（x）在（0，(1)/(2)）上单调递减；
当x＞(1)/(2)时，h′（x）＞0，此时函数h（x）在（(1)/(2)，+∞）上单调递增；
∴当x=(1)/(2)时，h（x）有极小值h（(1)/(2)）=1+ln2，
∴h（x）的最小值为1+ln2；
（2）∵g（x）≤ax≤f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴g（x）≤f（x）对任意x∈（0，+∞），即b≤2x2+(1)/(2)−lnx，
由（1）知，h（x）=2x2+(1)/(2)−lnx，当x=(1)/(2)时有极小值，也是最小值，
∴b≤1+ln2，
∵b是正整数，且1+ln2∈（1，2），∴b=1，
又g（x）≤ax≤f（x），即(lnx+1)/(x)≤a≤2x+(1)/(2x)，
∵2x+(1)/(2x)≥2，∴a≤2，
设φ（x）=(lnx+1)/(x)，则φ′（x）=-(lnx)/(x2)，令φ′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，当x＞1时，φ′（x）＜0，
则当x=1时，φ（x）有极大值，也是最大值为1，
∴a≥1，∴1≤a≤2，
综上所述，b=1，1≤a≤2．