课题研究（1）如图（1），我们已经学习了直角三角形中的边角关系，在Rt△ACD中，sin∠A=CDACCDAC，所以CD=，而S△ABC=12AB•CD，于是可将三角形面积公式变形，得S△ABC=12AB•AC•sinA12AB•AC•

Question

课题研究
（1）如图（1），我们已经学习了直角三角形中的边角关系，在Rt△ACD中，sin∠A=

(CD)/(AC)

(CD)/(AC)

，所以CD=______，而S_△ABC=(1)/(2)AB•CD，于是可将三角形面积公式变形，得S_△ABC=

(1)/(2)AB•AC•sinA

(1)/(2)AB•AC•sinA

．①其文字语言表述为：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．这就是我们将要在高中学习的正弦定理．
（2）如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC，由公式①，得
(1)/(2)AC•BC•sin(α+β)＝(1)/(2)AC•CD•sinα+(1)/(2)BC•CD•sinβ，即AC•BC•sin(α+β)＝AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，将得到新的结论．并写出解决过程．
（3）利用（2）中的结论，试求sin75°和sin105°的值，并比较其大．

Answer 1

解．（1）(CD)/(AC)，ACsinA，S△ABC＝(1)/(2)AB•AC•sin∠A；

（2）把AC•BC•sin(a+β)＝AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ
两边同除以AC•BC，得
sin(α+β)＝(CD)/(BC)•sinα+(CD)/(AC)•sinβ
在Rt△BCD和Rt△ACD中分别可得：
cosα=(CD)/(AC)，cosβ=(CD)/(BC)，
∴sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；

（3）sin75°＝sin(30°+45°)＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°＝(1)/(2)×(√(2))/(2)+(√(3))/(2)×(√(2))/(2)＝(√(2)+√(6))/(4)
sin105°＝sin(60°+45°)＝sin60°•cos45°+cos60°•sin45°＝(1)/(2)×(√(2))/(2)+(√(3))/(2)×(√(2))/(2)＝(√(2)+√(6))/(4)
由此可见：sin75°=sin105°．