求解一阶线性微分方程：1.xy'-y-√y²-x²=0(x>0)(根号下是y²-x²)2.y'=(2xy)/(x²-y²).

Question

求解一阶线性微分方程：
1. xy'-y-√y²-x²=0 (x>0) (根号下是y²-x²)
2. y'=(2xy)/(x²-y²).

Answer 1

①y'-y/x-√(y^2/x^2-1)=0
令z=y/x ,则
xdz+zdx=dy
y'=xz'+z
代入原方程得
xz'=√(z^2-1)
分离变量
dz/√(z^2-1)=dx/x
积分得
arccosh(y/x)=lnx+C　
②y'=2(y/x)/(1-y^2/x^2)
令z=y/x 则
xz'+z=y'
从而
xz'=2z/(1-z^2)-z=(z+z^3)/(1-z^2)
(1-z^2)dz/(z+z^3)=dx/x
得
Int[(1-z^2)dz/(z+z^3)]=lnx+C