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已知函数和反函数,求如何用函数的多阶导数表示反函数的多阶导数?设y=(x)在点x0处三阶可导,且f(x)的一阶导不等于0,存在反函数x=g(y),试用f(x)的一阶导二阶导三阶导表示g(y)的三阶导.
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已知函数和反函数,求如何用函数的多阶导数表示反函数的多阶导数?
设y=(x)在点x0处三阶可导,且f(x)的一阶导不等于0,存在反函数x=g(y),试用f(x)的一阶导二阶导三阶导表示g(y)的三阶导.
设y=(x)在点x0处三阶可导,且f(x)的一阶导不等于0,存在反函数x=g(y),试用f(x)的一阶导二阶导三阶导表示g(y)的三阶导.
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答案和解析
dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'
d²x/dy²=d(dx/dy)/dy=[d(dx/dy)/dx](dx/dy)=-y''/(y')³
d³x/dy³=d(d²x/dy²)/dy=[d(d²x/dy²)/dx](dx/dy)=[3y''²/(y')^5]-[y'''/(y')^4]
d²x/dy²=d(dx/dy)/dy=[d(dx/dy)/dx](dx/dy)=-y''/(y')³
d³x/dy³=d(d²x/dy²)/dy=[d(d²x/dy²)/dx](dx/dy)=[3y''²/(y')^5]-[y'''/(y')^4]
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