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已知x,y,z∈R+,x+y+z=3①求(1/x)+(1/y)+(1/z)的最小值②证明:已知x,y,z∈R+,x+y+z=3①求(1/x)+(1/y)+(1/z)的最小值②证明:3
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答案和解析
①依Cauchy不等式得
1/x+1/y+1/z
≥(1+1+1)^2/(x+y+z)
＝3,
故所求最小值为：3.
②依Cauchy不等式得
x^2+y^2+z^2
≥(x+y+z)^2/(1+1+1)
＝3；
9-(x^2+y^2+z^2)
＝(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)
＝2(xy+yz+zx)
>0,
∴x^2+y^2+z^2
1/x+1/y+1/z
≥(1+1+1)^2/(x+y+z)
＝3,
故所求最小值为：3.
②依Cauchy不等式得
x^2+y^2+z^2
≥(x+y+z)^2/(1+1+1)
＝3；
9-(x^2+y^2+z^2)
＝(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)
＝2(xy+yz+zx)
>0,
∴x^2+y^2+z^2
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