如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线y＝12x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；（2）P为线

Question

如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线y＝(1)/(2)x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设此二次函数的解析式为y=ax²，
∵A点（8，8）在二次函数y=ax²上，
∴8=a×8²，
∴a=(1)/(8)，
∴y=(1)/(8)x²，
∵直线y＝(1)/(2)x+4与y轴的交点为B，
∴B点坐标为：（0，4）．

（2）P点在y＝(1)/(2)x+4上且横坐标为t，
∴P（t，(1)/(2)t+4），
∵PD⊥x轴于E，
∴D（t，(1)/(8)t²），E（t，0），
∵PD=h，
∴(1)/(2)t+4-(1)/(8)x²=h，
∴h=-(1)/(8)x²+(1)/(2)t+4，
∵P与AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
（1）当BD⊥PE时，
△PBD∽△BCO，
∵(OB)/(PD)=(OC)/(BD)，
∴(4)/(h)=(8)/(t)，
∴h=(1)/(2)t，
∴-(1)/(8)x²+(1)/(2)t+4=(1)/(2)t，
x=4√(2)或x=-4√(2)（舍去）
∴P点的纵坐标是：(1)/(2)×4

作业帮用户 2017-11-09 举报

问题解析

（1）先设二次函数的解析式为y=ax²，把A点（8，8）代入y=ax²即可求出这个二次函数的解析式，根据直线y＝(1)/(2)x+4与y轴的交点横坐标为0即可求出B点坐标为；
（2）设P点在y＝(1)/(2)x+4上且横坐标为t，得出P点的坐标为（t，(1)/(2)t+4），根据PD⊥x轴于E，用t表示出D和E的坐标，再根据PD=h，求出h=-(1)/(8)x²+(1)/(2)t+4，最后根据P与AB不重合且在AB上，得出t的取值范围；
（3）先过点B作BF⊥PD于F，得出PF=(1)/(2)t+4-4=(1)/(2)t，BF=t，再根据勾股定理得出PB和BC的值，再假设△PBO∽△BOC，得出(PB)/(OB)=(PD)/(BC)，即可求出t₁和t₂的值，从而求出P点的坐标；

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

此题考查了二次函数的综合；在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．

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