（2011•盘锦）如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10

Question

（2011•盘锦）如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．
（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．
（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留π）．

Answer 1

（1）如图（1），点A运动到点A₁的位置时∠AOE=45°．
作A₁F⊥MN于点F，A₁G⊥OE于点G，
∴A₁F=GE．（1分）
在Rt△A₁OG中，
∵∠A₁OG=45°，OA₁=10，
∴OG=OA₁•cos45°=10×(√(2))/(2)=5√(2)．（2分）
∵OE=25，
∴GE=OE-OG=25-5√(2)．
∴A₁F=GE=25-5√(2)．（3分）
答：点A到桌面的距离是（25-5√(2)）厘米．（4分）

（2）如图（2），点A在旋转过程中运动到点A₂、A₃的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米．
作A₂H⊥MN于H，则A₂H=20．作A₂D⊥OE于点D，
∴DE=A₂H．（5分）
∵OE=25，
∴OD=OE-DE=25-20=5．
在Rt△A₂OD中，
∵OA₂=10，
∴cos∠A₂OD=(OD)/(OA2)=(5)/(10)=(1)/(2)．
∴∠A₂OD=60°．（7分）
由圆的轴对称性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．
∴点A所经过的路径长为(120π×10)/(180)=(20π)/(3)．（9分）
答：点A所经过的路径长为(20π)/(3)厘米．（10分）