若函数f（x）在[1，+∞）上一致连续，求证：f(x)x在[1，+∞）上有界．

Question

若函数f（x）在[1，+∞）上一致连续，求证：(f(x))/(x)在[1，+∞）上有界．

Answer 1

证：由函数f（x）在[1，+∞）上一致连续
对ε=1，∃δ>0，对∀x′，x″∈[1，+∞），
且满足|x′-x″|≤δ时，有|f（x′）-f（x″）|<1，
特别有|f（n+1）δ）-f（nδ）|≤1，
于是|f（n+1）δ）|≤|f（n+1）δ）-f（nδ）|+|f（nδ）|≤1+|f（nδ）|≤…≤（n+1-k）+f（kδ），（kδ≥1>（k-1）δ）
对任意x∈[1，+∞），
存在m，使得mδ|f（x）|≤|f（x）-f（mδ）|+|f（mδ）|≤1+|f（mδ）|≤（m-k）+f（kδ）=m+（f（kδ）-k）≤(x)/(δ)+(f(kδ)-k)，
故有|(f(x))/(x)|≤(1)/(δ)+((f(kδ)-k))/(x)≤(1)/(δ)+|f(kδ)-k|，
即得(f(x))/(x)在[1，+∞）上有界．
故得证．