已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0,f（x+y）=f（x）*f（y）,且当x＜0时f（x）＞1求证：当x＞0时,0＜f（x）＜1；f（x）在x∈R上是减函数.

Question

已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0,f（x+y）=f（x）*f（y）,且当x＜0时f（x）＞1求证：当x＞0时,0＜f（x）＜1；f（x）在x∈R上是减函数.

Answer 1

f(0)=f(0+0)=f(0)^2,
f(0)(f(0)-1)=0,
f（0）≠0,f（0）=1;
当x＞0时,-x<0,f（-x）＞1
f(0)=f(x+(-x))=f(x)*f(-x),
f（x）=1/f（-x）<1,
f(x）=1/f（-x）>0;
当x＞0时,0＜f（x）＜1 成立；
任意 x1,x2 属于R,设 x2>x1,
则 x2-x1>0, 0f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)*f(x2-x1)即 f（x）在x∈R上是减函数.